Question

2．已知函数f（x）=cos²x+asinx-2a-2．
（I）当a=-2时，求满足f（x）=0的x值；
（Ⅱ）当关于x的方程f（x）=0有实数解时，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x∈R都有-5≤f（x）≤-1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）先将函数化成关于sinx的二次函数，然后将a的值代入后因式分解，再根据三角方程求出x的值即可；
（Ⅱ）令sinx=t，则t∈[-1，1]，由f（x）=0有实数解等价于方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有解，讨论方程的解得个数进行求解即可．
（Ⅲ）若对任意x∈R都有-5≤f（x）≤-1成立，利用此时分类法，求出对应函数的最值即可求实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=cos²x+asinx-2a-2=1-sin²x+asinx-2a-2=-sin²x+asinx-2a-1
（I）当a=-2时，由f（x）=-sin²x+asinx-2a-1=0
得-sin²x-2sinx+3=0，（sinx-1）（sinx+3）=0，
所以sinx=1，则x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，所以满足f（x）=0的x值是x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
（Ⅱ）令sinx=t，则t∈[-1，1]，
由f（x）=0有实数解等价于方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有解，
记g（t）=t²-at+2a+11，若方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有一解，则g（-1）g（1）≤0，
（3a+2）（a+2）≤0得-2≤a≤-$\frac{2，}{3}$
2若方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有两解，则
$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\\{△={a}^{2}-4（2a+1）≥0\;}\\{-1＜\frac{a}{2}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\;-\frac{2}{3}}\\{a≥-2}\\{a≥4+2\sqrt{5}或a≤4-2\sqrt{5}}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$解得-$\frac{2}{3}$＜a≤4-2$\sqrt{5}$．
综合①．②得所求a的取值范是{a|-2≤a≤-$\frac{2}{3}$或-$\frac{2}{3}$＜a≤4-2$\sqrt{5}$}即[-2，4-2$\sqrt{5}$]
（Ⅲ）若对任意x∈R都有-5≤f（x）成立，即-5≤-sin²x+asinx-2a-1恒成立，
即（2-sinx）a≤4-sin²x恒成立，∵2-sinx＞0，
∴a≤2+sinx恒成立，
∵1≤2+sinx≤3，
∴此时a≤1．
若对任意x∈R都有f（x）≤-1成立，即-sin²x+asinx-2a-1≤-1恒成立，
即（2-sinx）a≥-sin²x恒成立，∵2-sinx＞0，
∴a≥$\frac{-sin^2x}{2-sinx}$恒成立，
∵$\frac{-sin^2x}{2-sinx}$的最大值为0，
∴a≥0，
综上0≤a≤1．
即实数a的取值范围是[0，1]．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及方程在闭区间上有解和恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．