题目内容
9.已知函数f(x)=($\frac{1}{3}$)x的反函数f-1(x),若f-1(a)+f-1(b)=-2,则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值是$\frac{2}{9}$.分析 由反函数的性质得$lo{g}_{\frac{1}{3}}a+lo{g}_{\frac{1}{3}}b=lo{g}_{\frac{1}{3}}ab=-2$,从而a>0,b>0,ab=9,再上均值不等式能求出$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值.
故答案为:$\frac{2}{9}$.
解答 解:∵函数f(x)=($\frac{1}{3}$)x的反函数f-1(x),
∴${f}^{-1}(x)=lo{g}_{\frac{1}{3}}x$,
∵f-1(a)+f-1(b)=-2,
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}a+lo{g}_{\frac{1}{3}}b=lo{g}_{\frac{1}{3}}ab=-2$,
∴a>0,b>0,ab=9,
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$2\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$=$\frac{2}{9}$.
当且仅当$\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{1}{{b}^{2}}$,即a=b=3时,$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$取最小值$\frac{2}{9}$.
故答案为:$\frac{2}{9}$.
点评 本题考查两数和的最小值的求法,是基础题,是一道集反函数、对数、均值不等式等知识点为一体的好题.
练习册系列答案
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