Question

17．若sin³θ-cos³θ≥sinθ-cosθ，0＜θ＜2π，则角θ的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{2}$，π]∪[$\frac{3π}{2}$，2π）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]∪[π，$\frac{5π}{4}$]∪[$\frac{3π}{2}$，2π）
• C． [$\frac{π}{4}$，π]∪[$\frac{5π}{4}$，2π）
• D． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]∪[$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$]∪[$\frac{7π}{4}$，2π）

Answer 1

分析 利用立方差公式结合三角函数的图象和性质进行求解即可．

解答 解：∵sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）=（sinθ-cosθ）（1+sinθcosθ），
∴若sin³θ-cos³θ≥sinθ-cosθ，
则（sinθ-cosθ）（1+sinθcosθ）≥sinθ-cosθ，
即（sinθ-cosθ）•（sinθcosθ）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{sinθ≥cosθ}\\{sinθcosθ≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ≤cosθ}\\{sinθcosθ≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{4}}\\{\frac{π}{4}≤θ≤\frac{π}{2}或π≤θ≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ≤\frac{π}{4}或\frac{5π}{4}≤θ＜2π}\\{\frac{π}{2}≤θ≤π或\frac{3π}{2}≤θ＜2π}\end{array}\right.$，
即$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{2}$或π≤θ≤$\frac{5π}{4}$或$\frac{3π}{2}$≤θ＜2π，
即角θ的取值范围是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]∪[π，$\frac{5π}{4}$]∪[$\frac{3π}{2}$，2π），
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用立方公式进行化简是解决本题的关键．