Question

4．数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$，则实数{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{4n-3}{2（2n-1）}$．

Answer 1

分析 通过变形、裂项可知a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而累加计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$），…，a₂-a₁=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），
累加得：a_n-a₁=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{n-1}{2n-1}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{2n-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4n-3}{2（2n-1）}$，
故答案为：$\frac{4n-3}{2（2n-1）}$．

点评 本题考查数列的通项，裂项、利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．