Question

16．函数f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e为自然对数的底）在区间[0，1]上单调递增，则m的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． [-0，e]
• C． [-1，1]
• D． （-e，e]

Answer 1

分析 若m≤0，则e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0恒成立，若函数f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e为自然对数的底）在区间[0，1]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，
若m＞0，则e^x+$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0为增函数，若函数f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e为自然对数的底）在区间[0，1]上单调递增，则e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$≥0在区间[0，1]上恒成立．

解答 解：若m≤0，则e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0恒成立，则f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|=e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$，
则f′（x）=e^x+$\frac{m}{{e}^{x}}$为增函数，
若函数f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e为自然对数的底）在区间[0，1]上单调递增，
则f′（x）≥0恒成立，则仅须x=0时，1+m≥0，即m≥-1即可，
故此时：-1≤m≤0，
若m＞0，则e^x+$\frac{m}{{e}^{x}}$＞0为增函数，
若函数f（x）=|e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$|（e为自然对数的底）在区间[0，1]上单调递增，
则e^x-$\frac{m}{{e}^{x}}$≥0在区间[0，1]上恒成立，
此时1-m≥0，即m≤1即可，
故此时：0＜m≤1，
综上所述m的取值范围是[-1，1]，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的性质，指数函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．