题目内容
(本小题满分12分)
已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,其左、右焦点分别是F1、F2,点P是坐标平面内的一点,且|OP|=
,
·
=
(点O为坐标原点).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使
+
=
λ
,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值.
已知椭圆C:






(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使


λ

解:(Ⅰ)设
则由
得
,
由
得
,即
………2分
所以
,又因为
,所以
………3分
椭圆C的方程为:
; ……….4分
(Ⅱ)解法一:由
得
,
设直线
的方程为
,联立
方程组
消去y得:
………5分
设
,
则
………6分
∵
,∴
,
得
,于是
………8分

………9分
到直线
的距离为
∴
,
当
,即
时等号成立,
的最大值为
………12分
解法二:由
得
,
设
则
∴
…………① ………5分
∵
,
∴
,
代入①得
, ………6分
设直线
的方程为
………7分
椭圆方程得 
,
……….9分
到直线
的距离为
∴
, ………11分
当
时等号成立,
的最大值为
………12分



由



所以



椭圆C的方程为:

(Ⅱ)解法一:由


设直线




消去y得:

设

则


∵



得







∴

当




解法二:由


设


∴

∵

∴



设直线











∴

当



略

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