Question

（本小题满分12分）
已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，点P是坐标平面内的一点，且｜OP｜＝，·＝（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使＋＝
λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设则由得，
由得，即 ………2分
所以，又因为，所以                   ………3分
椭圆C的方程为：；                                ……….4分
（Ⅱ）解法一:由得，
设直线的方程为,联立方程组
消去y得：                    ………5分
设,
则                           ………6分
             
∵，∴，
得,于是       ………8分
 ………9分
到直线的距离为
∴，
当,即时等号成立，的最大值为        ………12分
解法二:由得，
设则
∴…………①               ………5分
∵，
∴，代入①得，             ………6分
设直线的方程为         ………7分
椭圆方程得  
，
                          ……….9分
到直线的距离为
∴，                       ………11分
当时等号成立，的最大值为                   ………12分

略