题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由已知,可求,
,故方程为
;(2)当直线
不与
轴垂直时,设直线
的方程为
、
,由
得
,由
共线,得
,又
,则
,代入可得结论.
试题解析:(1)由题意知:,
∵椭圆上的点满足
,且
,
∴,
∴.
∴.
又∵,∴
.
∴椭圆的方程为
,
(2)由题意知,
①当直线与
轴垂直时,
,则
的方程是:
,
的方程是:
,直线
与直线
的交点为
,
∴点在直线
上
(2)当直线不与
轴垂直时,设直线
的方程为
、
,
由得
,
∴.
,
共线,∴
又,需证明
共线,
需证明,只需证明
,
若,显然成立,若
,即证明
成立.
∴共线,即点
总在直线
上.
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