Question

【题目】已知二次函数为常数, 的一个零点是,函数是自然对数的底数, 设函数．

（1）过点坐标原点作曲线的切线, 证明切点的横坐标为；

（2）令,若函数在区间上是单调函数, 求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得,再化简,求导结合导数的几何意义求解证明；（2）化简求导得,再令从而由的正负确定函数的正负,进而确定的正负,得到的单调性,从而求解．

试题解析：解：（1）是二次函数的一个零点，。

设切点为则切线的斜率。

整理得显然，是这个方程的解。

上是增函数，

则方程有唯一实数解，故

则

，

设

则

易知在上是减函数，从而．

①当即时，在区间上是增函数．

在上恒成立，即在上恒成立．

在区间上是减函数。则满足题意．

②当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上递增，在上递减。

在内有唯一一个零点，

当时，,当递增，与在区间上是单调函数矛盾。

不合题意．

综合①②得，即的取值范围是．