Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明：对任意的，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 当时，区间单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； （Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数单调区间，只要求出导数，在定义域内解不等式得增区间，解不等式得减区间，由于中含有参数，应按进行分类讨论；（Ⅱ）要证的不等式就是，为此我们记，求出它的最小值，证明最小值大于0即可．这可由导数的知识易得．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是

当时，

对任意恒成立，

所以，函数在区间单调递增；

当时，

由得，由得

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

（Ⅱ）当时，，要证明，

只需证明，设，

则问题转化为证明对任意的，

令得，

容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足

当变化时，和变化情况如下表

	－
	递减		递增

因为，且，所以，因此不等式得证。