题目内容
【题目】已知函数(
,
).
(1)当时,若函数
在
上有两个零点,求
的取值范围;
(2)当时,是否存在
,使得不等式
恒成立?若存在,求出
的取值集合;若不存在,请说明理由.
【答案】(1).(2)存在,
的取值集合为
.
【解析】
(1)将代入,求得函数的导数,当
时显然不成立,当
时,利用零点的存在定理,即可求解的结论;
(2)当时,设
,由
,进而条件转化为不等式
对
恒成立,得到
是函数
的最大值,也是函数
的极大值,故
,当
时,利用导数得到不等式
恒成立,即可求解.
(1)当时,
,
(
),
当时,
,
在
上单调递增,不合题意,舍去;
当时,
,
,
进而在
上单调递增,在
上单调递减,
依题意有,
,
,解得
,
又,且
,
在
上单调递增,
进而由零点存在定理可知,函数在
上存在唯一零点;
下面先证(
)恒成立,令
,则
,
当时,
,函数
单调递减,
当时,
,函数
单调递增,
进而,∴
,∴
,
可得,
若,得
,
因为,则
,即当
时,取
,有
,
即存在使得
,
进而由零点存在定理可知在
上存在唯一零点;
(2)当时,存在
,使得不等式
恒成立.
证明如下:
当时,设
,则
,
依题意,函数恒成立,
又由,进而条件转化为不等式
对
恒成立,
所以是函数
的最大值,也是函数
的极大值,故
,解得
.
当时,
(
),
令可得
,令
可得
.
故在
上递增,在
上递减.
因此,即不等式
恒成立.
综上,存在且的取值集合为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立,某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查,经过计算的观测值为7,根据这一数据分析,下列说法正确的是( )
附:
0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关
B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关