Question

12．（1）已知α是第二象限角，且sinα=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，求$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$的值．
（2）已知sin（π+α）=$\frac{1}{2}$，求$\frac{{sin（{2π-α}）cos（α+\frac{π}{2}）}}{sin（α-π）}-\frac{{sin（α-\frac{3π}{2}）}}{{tan（{α-π}）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由α的取值范围求得cosα=-$\frac{1}{4}$，所以利用倍角公式、两角和与差的正弦公式对所求的代数式进行化简求值；
（2）利用诱导公式得到sinα=-$\frac{1}{2}$，根据诱导公式对所求的代数式进行化简并求值．

解答 解：（1）∵α是第二象限角，且sinα=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴cosα=-$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$，
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α-1+1}$，
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2cosα（sinα+cosα）}$，
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$，
=$-\sqrt{2}$．

（2）∵sin（π+α）=$\frac{1}{2}$，
∴sinα=-$\frac{1}{2}$，
∴cos²α=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{sin（{2π-α}）cos（α+\frac{π}{2}）}}{sin（α-π）}-\frac{{sin（α-\frac{3π}{2}）}}{{tan（{α-π}）}}$，
=$\frac{-sinαsinα}{-sinα}$-$\frac{cosα}{tanα}$，
=sinα-$\frac{co{s}^{2}α}{sinα}$，
=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}}$，
=2．

点评 本题考查了三角函数的基本关系式运用求三角函数值，属于基础题．