题目内容
1．若${（a-\frac{1}{a}）^9}$的展开式的第8项的系数是a4，且对任意实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a1+a2+a3+a4的值为-17．分析 写出${（a-\frac{1}{a}）^9}$的展开式的第8项，求得a4，再求出a1+a2+a3的值，则答案可求．
解答 解：由题意得${T}_{8}={C}_{9}^{7}•{a}^{2}•（-\frac{1}{a}）^{7}=（-1）^{7}{C}_{9}^{7}•\frac{1}{{a}^{5}}$，
∴${a}_{4}=-{C}_{9}^{7}=-36$．
由x3=[2+（x-2）]3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3 ，
故a1=${C}_{3}^{1}$•22=12，a2 =${C}_{3}^{2}$•2=6，a3=${C}_{3}^{3}$=1，∴a1+a2+a3=19．
∴a1+a2+a3+a4=-36+19=-17．
故答案为：-17．
点评 本题考查二项式系数的性质，考查组合数的求法，是基础的计算题．
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