Question

17．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x∈R，均有f（-x）+f（x）=0，f（x+1）+f（x）=0，且当x∈（0，1）时，f（x）=$\sqrt{x}$，则当$x∈[\;-3\;，\;-\frac{5}{2}\;]$时，f（x）的取值范围是$（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]∪\left\{0\right\}$．

Answer 1

分析 根据f（-x）+f（x）=0，f（x+1）+f（x）=0，得到函数f（x）的奇偶性和周期性，利用奇偶性和周期性进行转化即可得到结论．

解答 解：由f（-x）+f（x）=0，得f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
由f（x+1）+f（x）=0，得f（x+1）=-f（x），
则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函数的周期为2，
当$x∈[\;-3\;，\;-\frac{5}{2}\;]$时，则x+2∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
当x=-3时，f（-3）=f（-1）=-f（0）=0，
当x∈（-3，-$\frac{5}{2}$），则x+2∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
若x∈（-1，0）时，则-x∈（0，1），
则f（-x）=$\sqrt{-x}$，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=$\sqrt{-x}$=-f（x），
即f（x）=-$\sqrt{-x}$，x∈（-1，0），
则当x∈（-3，-$\frac{5}{2}$），
f（x）=f（x+2）=-$\sqrt{-x-2}$，
∵x∈（-3，-$\frac{5}{2}$），
∴-x∈（$\frac{5}{2}$，3），
-x-2∈（$\frac{1}{2}$，1），
则$\sqrt{\frac{1}{2}}$＜$\sqrt{-x-2}$＜$\sqrt{1}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{-x-2}$＜1，
则-1＜-$\sqrt{-x-2}$＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即f（x）∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
综上当$x∈[\;-3\;，\;-\frac{5}{2}\;]$时，f（x）∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪{0}，
故答案为：（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪{0}

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．