题目内容

【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD= .用向量法解决下列问题:

(1)若AC的中点为E,求A1C与DE所成的角;
(2)求二面角B1﹣AC﹣D1(锐角)的余弦值.

【答案】
(1)解:由AD=CD,AC的中点为E,∴DE⊥AC.

如图,以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,

依题意可得A(0,0,0 ),B(1,0,0),A1(0,0,2)

C(0,2,0),D(﹣2,1,0),B1(1,0,2),

D1(﹣2,1,2),E(0,1,0).

=(0,2,﹣2), =(2,0,0),

=0,∴A1C⊥DE,

∴A1C与DE所成的角为


(2)解:设平面B1AC与平面D1AC所成的角为θ,

平面B1AC的法向量为 =(x,y,1),平面D1AC的法向量为 =(a,b,1).

=(﹣1,0,﹣2), =(2,﹣1,﹣2), =(0,2,0).

,得 =(﹣2,0,1),

,得 =(1,0,1),

则cosθ= = =

∴二面角B1﹣AC﹣D1(锐角)的余弦值为


【解析】(1)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出A1C与DE所成的角.(2)求出平面B1AC的法向量和平面D1AC的法向量,利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣D1(锐角)的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.

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