Question

【题目】已知椭圆 (常数a，b>0，且a>b)的左、右焦点分别为F1，F2，M，N为短轴的两个端点，且四边形F1MF2N是面积为4的正方形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过原点且斜率分别为k和－k(k≥2)的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D(按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内)，求四边形ABCD的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由四边形F1MF2N是面积为4的正方形，可得关于a,b的方程组，即可得到椭圆的方程；（2）设A(x，y)，求出A点坐标.根据题意设直线图象与椭圆的对称性，知,结合均值不等式即可得到四边形ABCD的面积S的最大值．

试题解析：

(1)依题意得∴所求椭圆方程为＋＝1.

(2)设A(x，y)，由得A(，)，

根据题设直线图象与椭圆的对称性，知S＝4××＝(k≥2)，

∴S＝(k≥2),

设M(k)＝2k＋，则M ′(k)＝2－，当k≥2时，M ′(k)＝2－>0，

∴M(k)在k∈[2，＋∞)时单调递增，∴M(k)min＝M(2)＝， 所以当k≥2时，Smax＝＝.