题目内容
【题目】在数列{an}中，a1＝
，其前n项和为Sn，且Sn＝an＋1－
(n∈N*)．
(1)求an，Sn；
(2)设bn＝log2(2Sn＋1)－2，数列{cn}满足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn>2n＋1－
成立的最小正整数n的值．
【答案】(1) 
；(2)2015.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合通径公式与前n项和之间的关系可得数列的通项公式为
利用Sn＝an＋1－
有： 
(2)结合(1)中的结论有： 
，据此分组求和结合裂项求和可得
,据此可得关于
的不等式： 
，求解不等式可得满足题意的最小正整数n的值为2 015.
试题解析：
(1)由Sn＝an＋1－
，得Sn－1＝an－(n≥2)，
两式作差得an＝an＋1－an，即2an＝an＋1(n≥2)，∴
＝2(n≥2)，
由a1＝S1＝a2－＝，得a2＝1，∴
＝2，
∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．
则an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.
(2)bn＝log2(2Sn＋1)－2＝log22n－2＝n－2，
∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，
即cn(n＋1)(n＋2)＝1＋(n＋1)(n＋2)·2n－2，
∴cn＝
＋2n－2
＝
－
＋2n－2，
∴Tn＝(－
)＋(－
)＋…＋(－)
＋(2－1＋20＋…＋2n－2)
＝－＋
＝－－＋2n－1
＝2n－1－.
由4Tn>2n＋1－
，
得4(2n－1－)>2n＋1－.
即
<，n>2 014.
∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2 015.
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