题目内容
【题目】已知数列满足
,且
.
(Ⅰ)证明:数列为等差数列,并求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若记为满足不等式
的正整数
的个数,设
,求数列
的最大项与最小项的值.
【答案】(1)见解析;(2)最大项为,最小项为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)对两边取倒数,移项即可得出
,故而数列
为等差数列,利用等差数列的通项公式求出
,从而可得出
;(Ⅱ)根据不等式
,,得
,又
,从而
,当
为奇数时,
单调递减,
;当
为偶数时
单调递增,
综上
的最大项为
,最小项为
.
试题解析:(Ⅰ)由于,
,则
∴,则
,即
为常数
又,∴数列
是以1为首项,
为公比的等比数列
从而,即
.
(Ⅱ)由即
,得
,
又,从而
故
当为奇数时,
,
单调递减,
;
当为偶数时,
,
单调递增,
综上的最大项为
,最小项为
.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知向量,
,若函数
的最小正周期为
,且在区间
上单调递减.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若关于的方程
在
有实数解,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由平面向量数量积公式可得,利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数
化为
,利用正弦函数的周期公式可得
,利用区间
上单调递减,可得
,从而可得函数解析式;(Ⅱ)原方程可化为
令
,可得
,整理
,等价于
在
有解,利用一元二次方程根的分布求解即可.
试题解析:(Ⅰ)
,∴
当时,
此时
单增,不合题意,∴
;
∴,∴
,在
单减,符合题意,故
(Ⅱ),
,
方程方程即为:
令
,由
,得
,于是
原方程化为,整理
,等价于
在
有解
解法一:
(1)当时,方程为
得
,故
;
(2)当时,
在
上有解
在
上有解,问题转化为求函数
上的值域;设
,则
,
,
,
设,在
时,单调递减,
时,单调递增,∴
的取值范围是
,
在
上有实数解
或
解法二:记
(1)当时,
,若
解得
不符合题意,所以
;
(2)当,方程
在
上有解;
①方程在上恰有一解
;
②方程在上恰有两解
或
;
综上所述,的范围是
或
.
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