Question

【题目】设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2

=2 sin2x﹣1+sin2x

=2 ﹣1+sin2x

=sin2x﹣ cos2x+ ﹣1

=2sin（2x﹣ ）+ ﹣1，

令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

可得函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）

解：把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣ ）+ ﹣1的图象；

再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+ ﹣1的图象，

∴g（ ）=2sin + ﹣1=

【解析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（ ）的值．；本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．