Question

【题目】在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.

（1）已知动点为圆： 外一点，过引圆的两条切线、. 、为切点，若，求动点的轨迹方程；

（2）若动点为椭圆： 外一点，过引椭圆的两条切线、. 、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) 动点的轨迹是一个圆，点的轨迹方程为

【解析】试题分析：（1）由切线的性质及可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，|OP|长为半径的圆上，进而可得动点P的轨迹方程；

（2）设两切线为l1，l2，分当l1与x轴不垂直且不平行时，和当l1与x轴垂直或平行时两种情况，结合，可得动点Q的轨迹方程；

试题解析：

（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形

所以点在以为圆心， 长为半径的圆上，且

进而动点的轨迹方程为

（2）动点的轨迹是一个圆

设两切线，

①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则

设的斜率为，则， 的斜率为，

的方程为，联立

得

因为直线与椭圆相切，所以，得

，

化简，

进而

所以

所以是方程的一个根.

同理是方程的另一个根.

所以，得，其中

②当轴或轴时，对应轴或轴，可知，满足上式，

综上知：点的轨迹方程为