Question

1．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁，PF₂．设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆通径$\frac{{2{b^2}}}{a}=1$，得a=2b²，结合椭圆离心率可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出P（x₀，y₀），当0≤x₀＜2时，分${x_0}=\sqrt{3}$和${x_0}≠\sqrt{3}$求解，当${x_0}≠\sqrt{3}$时，设出直线PF₁，PF₂的方程，由点到直线的距离公式可得m与k₁，k₂的关系式，
再把k₁，k₂用含有x₀，y₀的代数式表示，进一步得到$|{\frac{{m+\sqrt{3}}}{{m-\sqrt{3}}}}|=|{\frac{{\sqrt{3}{x_0}+4}}{{\sqrt{3}{x_0}-4}}}|$．再由x₀的范围求得m的范围；当-2＜x₀＜0时，同理可得$-\frac{3}{2}＜m＜0$．则m的取值范围可求．

解答 解：（Ⅰ）由于c²=a²-b²，将x=-c代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得$y=±\frac{b^2}{a}$，
由题意知$\frac{{2{b^2}}}{a}=1$，即a=2b²．
又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴a=2，b=1．
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），
当0≤x₀＜2时，
①当${x_0}=\sqrt{3}$时，直线PF₂的斜率不存在，易知$P（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$或$P（\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）$．
若$P（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$，则直线PF₁的方程为$x-4\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0$．
由题意得$\frac{{|{m+\sqrt{3}}|}}{7}=\sqrt{3}-m$，
∵$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，∴$m=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
若$P（\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）$，同理可得$m=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
②当${x_0}≠\sqrt{3}$时，
设直线PF₁，PF₂的方程分别为$y={k_1}（x+\sqrt{3}），y={k_2}（x-\sqrt{3}）$，
由题意知$\frac{{|{m{k_1}+\sqrt{3}{k_1}}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\frac{{|{m{k_2}+\sqrt{3}{k_2}}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}$，
∴$\frac{{{{（m+\sqrt{3}）}^2}}}{{{{（m-\sqrt{3}）}^2}}}=\frac{{1+\frac{1}{{k{{{\;}_1}^2}}}}}{{1+\frac{1}{{k{{{\;}_2}^2}}}}}$，
∵$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$，且${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}，{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{3}}}$，
∴$\frac{{{{（m+\sqrt{3}）}^2}}}{{{{（m-\sqrt{3}）}^2}}}=\frac{{4{{（{x_0}+\sqrt{3}）}^2}+4-{x_0}^2}}{{4{{（{x_0}-\sqrt{3}）}^2}+4-{x_0}^2}}=\frac{{3{x_0}^2+8\sqrt{3}{x_0}+16}}{{3{x_0}^2-8\sqrt{3}{x_0}+16}}=\frac{{{{（3{x_0}+4）}^2}}}{{{{（3{x_0}-4）}^2}}}$，
即$|{\frac{{m+\sqrt{3}}}{{m-\sqrt{3}}}}|=|{\frac{{\sqrt{3}{x_0}+4}}{{\sqrt{3}{x_0}-4}}}|$．
∵$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，0≤x₀＜2且${x}_{0}≠\sqrt{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}+m}}{{\sqrt{3}-m}}=\frac{{4+\sqrt{3}{x_0}}}{{4-\sqrt{3}{x_0}}}$．
整理得，$m=\frac{{3{x_0}}}{4}$，
故0$≤m＜\frac{3}{2}$且m$≠\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
综合①②可得$0≤m＜\frac{3}{2}$．
当-2＜x₀＜0时，同理可得$-\frac{3}{2}＜m＜0$．
综上所述，m的取值范围是 $（-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理、点到直线的距离公式和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，考查运算能力，是压轴题．