Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+$\sqrt{3}$与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l 的方程y=kx+$\sqrt{3}$代入$\frac{y2}{4}$+x²=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．

解答 解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$所以b²=a²-c²=4-3=1，
故所求椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l 的方程y=kx+$\sqrt{3}$代入$\frac{y2}{4}$+x²=1，
并整理，得（k²+4）x²+2 $\sqrt{3}$kx-1=0．（*）
则x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
于是-$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，解得k=±$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当k=±$\frac{\sqrt{11}}{2}$时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档．