题目内容
7.已知实数a、b、c满足a+b+c=2,a2+b2+c2=4,且a>b>c,不等式ln(a2+2a)-a≥M恒成立,则M的最大值是ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$.分析 由a+b+c=2,得b+c=2-a①,由a2+b2+c2=4,得b2+c2=4-a2②,由柯西不等式得(b2+c2)(1+1)≥(b+c)2③,将①②代入③可求得a的范围,构造函数f(a)=ln(a2+2a)-a($\frac{2}{3}$<a≤2),利用导数可求得函数f(a)的最小值.
解答 解:由a+b+c=2,得b+c=2-a①,由a2+b2+c2=4,得b2+c2=4-a2②,
由柯西不等式,得(b2+c2)(1+1)≥(b+c)2③,
将①②代入③得,2(4-a2)≥(2-a)2,解得-$\frac{2}{3}$≤a≤2,
又a>b>c,∴3a>a+b+c=2,∴a>$\frac{2}{3}$.
∴$\frac{2}{3}$<a≤2.
令f(a)=ln(a2+2a)-a($\frac{2}{3}$<a≤2).
则f′(a)=$\frac{(\sqrt{2}+a)(\sqrt{2}-a)}{{a}^{2}+2a}$,
当$\frac{2}{3}$<a<$\sqrt{2}$时f′(a)>0,当$\sqrt{2}$<≤2时f′(a)<0,
∴f($\sqrt{2}$)为极大值,也为最大值,
f(a)min=min{f($\frac{2}{3}$),f(2)},
而f($\frac{2}{3}$)=ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$,f(2)=ln8-2,
f($\frac{2}{3}$)-f(2)=(4ln2-2ln3-$\frac{2}{3}$)-(3ln2-2)=ln$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{3}$≈-1.514+1.333<0,
∴f(a)min=f($\frac{2}{3}$),
∴M≤ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$.
即M的最大值为ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$,
故答案为:ln$\frac{16}{9}$-$\frac{2}{3}$.
点评 该题考查不等式的求解、函数恒成立等知识,考查学生分析问题解决问题的能力,利用已知条件求解a的范围是解决本题的关键所在.
A. | -1 | B. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | 1 |