题目内容
17．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1=2a，∠CAB=90°，AC=$\sqrt{2}$a．则点B到平面AB1C的距离为$\frac{{2\sqrt{3}a}}{3}$．
分析 可采用等积法，只要求出三角形AB1C的面积，则B到面AB1C的距离即可求得．
解答 解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2a，∠CAB=90°，AC=$\sqrt{2}$a，
∴AB=$\sqrt{2}$a，
△AB1C中，AB1=$\sqrt{6}$a，B1C=2$\sqrt{2}$a，AC=$\sqrt{2}$a，∴${S}_{△A{B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{6}a$=$\sqrt{3}{a}^{2}$，
设点B到平面AB1C的距离为h．
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a×2a=\frac{1}{3}×\sqrt{3}{a}^{2}h$，
解得h=$\frac{{2\sqrt{3}a}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}a}}{3}$．
点评 本题考查了利用等体积法求空间距离的方法，一般是构造三棱锥，通过变换顶点的方法来解．
练习册系列答案
相关题目
如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC和BD的中点．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．
如图，在棱锥A-BCDE中，平面ABE上平面BCDE，BE⊥AE，BE⊥ED，ED∥BC，BC=BE=EA=2，DE=1．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为$\frac{π}{4}$；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{2}{3}$．
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．