Question

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点（异于A、B），过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D、E分别是VA、VC的中点．
（1）求证：平面EDO⊥平面VBC；
（2）若VC=AB=2BC，求二平角C-VA-B的平面角大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质可得：AC⊥VC，于是AC⊥平面VBC．利用三角形中位线定理可得：DE∥AC，可得DE⊥平面VBC．
即可证明．
（2）解法1：利用圆的性质与线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面VAC，于是BC⊥VA．在平面VAC内过点C作CP⊥VA于点P，连接BP．可得VA⊥BP，∠CPB就是二平角C-VA-B的平面角．再利用面积与直角三角形的边角关系即可得出．
解法2：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CV为z轴建立空间直角坐标系．设BC=1，则VC=AB=2BC=2，AC=$\sqrt{3}$，由BC⊥平面VCA，平面VCA的法向量为$\overrightarrow{CB}$，设平面VBA的法向量为$\overrightarrow n$=（x，1，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{VB}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow n$，利用$cos＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
又∵VC垂直于⊙O所在的平面，∴AC⊥VC，
而BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC，
又∵D，E分别是VA，VC的中点，
∴DE是△VCA的中位线，
∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC．
而DE?平面EDO，∴平面EDO⊥平面VBC．
（2）解法1：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．
又∵VC垂直于⊙O所在的平面，
∴而AC∩VC=C，∴BC⊥平面VAC，
∴BC⊥VA．
在平面VAC内过点C作CP⊥VA于点P，连接BP．
又BC∩PC=C，∴VA⊥平面PBC，
∴VA⊥BP
∴∠CPB就是二平角C-VA-B的平面角．
在RT△ABC与RT△VAC中，设BC=a，VC=AB=2BC=2a．
∴AC=$\sqrt{3}$a，VA=$\sqrt{V{C^2}+A{C^2}}$=$\sqrt{7}$a．
∵VA•CP=VC•AC，
∴CP=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$a，
∴tan∠CPB=$\frac{BC}{CP}$=$\frac{a}{{\frac{{2\sqrt{21}}}{7}a}}$=$\frac{{7\sqrt{21}}}{42}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$．
∴二平角C-VA-B的平面角大小的正切值是$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$．
解法2：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CV为z轴建立空间直角坐标系．
设BC=1，则VC=AB=2BC=2，AC=$\sqrt{3}$，
C（0，0，0），B（0，1，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），V（0，0，2）$\overrightarrow{VB}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{BA}$=（$\sqrt{3}$，-1，0）．
由BC⊥平面VCA，平面VCA的法向量为$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0）．
设平面VBA的法向量为$\overrightarrow n$=（x，1，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{VB}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，得2z=1，$\sqrt{3}$x-1=0．
即z=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$\overrightarrow n$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，1，$\frac{1}{2}$），
∴$cos＜\overrightarrow{CB}\overrightarrow{，n}＞=\frac{{\overrightarrow{CB}\overrightarrow{•n}}}{{|{\overrightarrow{CB}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{19}{12}}}}=\sqrt{\frac{12}{19}}$．
∴$tan＜\overrightarrow{CB}\overrightarrow{，n}＞=\frac{{\sqrt{21}}}{6}$．
∴二平角C-VA-B的平面角大小的正切值是$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、向量与数量积的关系、法向量与空间角的求法、三角形中位线定理、直角三角形的边角关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．