题目内容
【题目】已知函数
（Ⅰ）若函数
的图像在点
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
（Ⅱ）讨论函数
的单调性；
（Ⅲ）若
时，在
定义域内总有
成立，试求实数
的最大值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）当
时，函数
在
单调递减；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.（Ⅲ）
【解析】试题分析：
(Ⅰ)结合导函数与原函数切线的关系可得
；
(Ⅱ)结合导函数的性质分类讨论有当
时，函数
在
单调递减；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
(Ⅲ)原问题等价于
恒成立，构造函数
，结合导函数研究函数的最小值可得实数
的最大值为
试题解析：
（Ⅰ）易得
，且
由题意，得
，解得
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
①当
时， 
， 
函数
在
单调递减，
②当
时，由
，得
；
由
，得
或
函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
③当
时，同理，得
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（Ⅲ）
当
时，由
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立，
令
，则只需
又
，令
，得
，
当
时， 
，此时，函数
在
上单调递减；
当
时， 
，此时，函数
在
上单调递增，
当
时， 
故所求实数
的最大值为
【题目】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
Y | 51 | 48 | 45 | 42 |
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【题目】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
