题目内容
【题目】设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,证明
恒成立.
【答案】(1)当时,
在区间
上单调递增;当
时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;(2)证明见详解.
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,进而求得函数的单调区间;
(2)将恒成立问题,转化两个函数最值之间的问题,进而求解.
(1)由题意得,
.
①当时,
,故函数
在区间
上单调递增;
②当时,在区间
上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
(2)证明:
要证,只需证
.
又,故只需证
即可.
设,则
,
在区间上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以.
设,则
,
在区间上,
,在区间
上,
,
故函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以.
又,所以
.
又因为,所以
,
所以,
故在上,
,
综上,恒成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】如图,在直角梯形中,
,过点
作
交
于点
,以
为折痕把
折起,当几何体
的的体积最大时,则下列命题中正确的个数是( )
①
②∥平面
③与平面
所成的角等于
与平面
所成的角
④与
所成的角等于
与
所成的角
A.B.
C.
D.
【题目】《厉害了,我的国》是2018年在我国各影院上映的一部非常火的电影纪录片,该部影片主要讲述了我国近几年的发展现状和成就,影片通过讲述中国故事,刻画中国面貌,弘扬了中国精神,引起了国民的高度关注,上映仅半个月影片票房就突破了3亿元,刷新了我国纪录片的票房纪录,某市一电影院为了解该影院观看《厉害了,我的国》的观众的年龄构成情况,随机抽取了40名观众数据统计如表:
年龄/岁 | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) |
人数 | 6 | 8 | 12 | 6 | 4 | 2 | 2 |
(1)求所调查的40名观众年龄的平均数和中位数;
(2)该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数,将《厉害了,我的国》的电影票票价提高20元/张,并允许购买电影票的观众抽奖3次,中奖1次、2次、3次分别奖现金20元、30元、60元,设观众每次中奖的概率均为,则观众在3次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是多少元(结果保留整数)?
【题目】某人经营淡水池塘养草鱼,根据过去期的养殖档案,该池塘的养殖重量
(百斤)都在
百斤以上,其中不足
百斤的
期,不低于
百斤且不超过
百斤的有
期,超过
百斤的有
期.根据统计,该池塘的草鱼重量的增加量
(百斤)与使用某种饵料的质量
(百斤)之间的关系如图所示.
鱼的重量(单位:百斤) | |||
冲水机运行台数 | 1 | 2 | 3 |
(1)根据数据可知与
具有线性相关关系,请建立
关于
的回归方程
;如果此人设想使用某种饵料
百斤时,草鱼重量的增加量须多于
百斤,请根据回归方程计算,确定此方案是否可行?并说明理由.
(2)养鱼的池塘对水质含氧与新鲜度要求较高,故养殖户需设置若干台增氧冲水机,每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量有关,并有如下关系:
若某台增氧冲水机运行,则该台冲水机每期盈利千元;若某台冲水机未运行,则该台冲水机每期亏损
千元.以频率 作为概率,养殖户欲使每期冲水机总利润的均值达到最大,应安装几台增氧冲水机?
附:对于一组数据,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.