Question

【题目】已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．
（1）若a=4，求集合A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，

a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0（x﹣3）（x﹣17）＜0，

解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，

由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，

所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，

集合A∩B={x|3＜x＜7}

（2）解：“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，

当3a+5＞3即a＞﹣ 时，3a+5≤7，解得﹣ ＜a≤ ．

当3a+5≤3即a≤﹣ 时，3a+5≥﹣2，解得﹣ ≥a≥﹣ ．

综上实数a的取值范围：

【解析】（1）根据a的具体值求得集合A，B的具体取值范围，再求得集合A，B的交集；（2）x∈A，则x∈B，即集合A是集合B的子集.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立．