题目内容
(本题满分14分) 设函数
.
(Ⅰ)当
时,讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)若函数
仅在x=0处有极值,试求a的取值范围;
(Ⅲ)若对于任何
上恒成立,求b的取值范围.

(Ⅰ)当


(Ⅱ)若函数

(Ⅲ)若对于任何

(1)
,
当
令
当x变化时,
的变化情况如下表:
所以
上是增函数,
在区间
上是减函数;…………………………(4分)
(2)
不是方程
的根,
处有极值。
则方程
有两个相等的实根或无实根,
,
解此不等式,得
这时,f(0)=b是唯一极值,
因此满足条件的a的取值范围是
;……………………(8分)
注:若未考虑
,进而得到a的范围为
,扣2分,
(3)由(2)知,当
恒成立,
当x<0时,
在区间
上是减函数,
因此函数
在[-1,0]上最大值是f(-1), …………(10分)
又∵对任意的
上恒成立,
∴
,
于是
上恒成立。
∴
因此满足条件的b的取值范围是
. …………………………(14分)

当

令

当x变化时,

x | ![]() | 0 | ![]() | ![]() | ![]() | 0 | ![]() |
![]() | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | 单调 递减 | 极小值 | 单调 递增 | 极大值 | 单调 递减 | 极小值 | 单调 递增 |

在区间

(2)



则方程


解此不等式,得

这时,f(0)=b是唯一极值,
因此满足条件的a的取值范围是

注:若未考虑


(3)由(2)知,当

当x<0时,


因此函数

又∵对任意的

∴

于是

∴

因此满足条件的b的取值范围是

略

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