题目内容

14.已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),$z=\frac{5}{w}+|\overline w-2|$.
(1)求z;
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值及方程的另一个根.

分析 (1)解法一:利用复数的运算计算出w,代入z即可得出.
解法二:设w=a+bi(a、b∈R),利用复数的运算法则与复数相等解出w,即可得出.
(2)把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0,利用复数相等解出p,q,即可得出.

解答 解:(1)解法一:∵w(1+2i)=4+3i,∴$w=\frac{4+3i}{1+2i}=2-i$,
∴$z=\frac{5}{2-i}+|-i|=3+i$.
解法二:设w=a+bi(a、b∈R),a+bi-4=3i-2ai+2b,
得 $\left\{{\begin{array}{l}{a-4=2b}\\{b=3-2a}\end{array}}\right.$,∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=2,\;}\\{b=-1}\end{array}}\right.$
∴w=2-i,
以下解法同解法一.
(2)∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,
∴(3+i)2-p(3+i)+q=0(8-3p+q)+(6-p)i=0,
∵p,q为实数,∴$\left\{\begin{array}{l}8-3p+q=0\\ 6-p=0\end{array}\right.$,
解得p=6,q=10.
解方程x2-6x+10=0得$x=\frac{{6±\sqrt{{6^2}-40}}}{2}=3±i$
∴实数p=6,q=10,方程的另一个根为x=3-i.

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等解,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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