Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，为上一点，、为椭圆的两焦点，的周长为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(Ⅰ)由题意得：，，………………2分

则，，所以， ………………3分

故椭圆C的标准方程为． ………………4分

（Ⅱ）设，，

将代入椭圆的方程，消去可得，

显然直线与椭圆的切点在椭圆内，所以，

由根与系数的关系得，， …………………6分

所以， …………………………………………………7分

因为直线与轴交点的坐标为，

所以的面积 …………………9分

，…………11分

设，

将代入椭圆的方程，可得， ………12分

由，可得，即， …………………………………………13分

又，故的面积为定值． ………………………14分

【命题意图】本题主要考查直线的方程、椭圆的方程与性质、直线与圆、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定值与范围问题，考查最基本的运算能力以及逻辑推理能力、方程的思想等，是难题．