Question

13．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上运动，且PA=r（0＜r＜$\sqrt{3}$），记点P的轨迹长度为f（r）．给出以下四个命题：
①f（1）=$\frac{3}{2}$π；②f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}π$；③f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π；
④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是减函数．其中为真命题的是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案，

解答 解：如图所示：
（1）当0＜r≤1时，f（r）=3×$\frac{π}{2}$×r=$\frac{3π}{2}$r，
（2）当1＜r≤$\sqrt{2}$时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则
cos∠DAF=$\frac{1}{r}$，∠EAF=$\frac{π}{2}$-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2$\sqrt{1-\frac{1}{{r}^{2}}}$×$\frac{1}{r}$=$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$，
cos∠EAG=$\frac{2{r}^{2}-（\sqrt{2}\sqrt{{r}^{2}-1}）^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3r•arccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3r•arccos$\frac{1}{{r}^{2}}$；
（3）当$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{3}$时，
∵CM=$\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴C₁M=C₁N=1-$\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴cos∠MAN=$\frac{2{r}^{2}-{[\sqrt{2}（1-\sqrt{{r}^{2}-2}）]}^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
故f（1）=$\frac{3π}{2}$，故①正确；
f（$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$•arccos1+3$\sqrt{2}$•arccos$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$π，故②错误；
f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$+2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{3}{4}$≠$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，故③错误；
函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是减函数，故④正确；
故正确的命题为：①④
故选：C

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了棱柱的几何特征，三角函数，一次函数的图象和性质，难度中档．