Question

5．函数f（x）=$\frac{{{{log}_2}x}}{{{{log}_2}a}}$（0＜a＜1）在区间[a，2a]上最大值与最小值之差为2，则a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=$\frac{{{{log}_2}x}}{{{{log}_2}a}}$=log_ax，从而确定函数的单调性，从而解得．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{{{log}_2}x}}{{{{log}_2}a}}$=log_ax，
∴函数f（x）在区间[a，2a]上单调递减，
∴f（a）-f（2a）=log_aa-log_a2a=log_a$\frac{1}{2}$=2，
解得，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的应用及对数运算的应用．