题目内容
【题目】已知函数,其图象与x轴交于两点,且.
(1)证明: ;
(2)证明: ;(其中为的导函数)
(3)设点C在函数的图象上,且△ABC为等边三角形,记,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) .
【解析】试题分析:(1)讨论a的符号,判断的单调性,计算的极值,根据零点个数得出的极小值为负数,列出不等式解出a;
(2)计算,根据函数单调性判断的符号即可;
(3)用表示出P点坐标,根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系,再计算的值.
试题解析:(1)∵ ,
若,则,则函数在R上单调递增,这与题设矛盾.
,易知在上单调递减,在上单调递增,
.
(2)∵,∴两式相减得.
记,则,
设则是单调减函数,
则有,而.
(3)由得,
设,在等边三角形ABC中,易知,
由等边三角形性质知,
即,
,
∵,
,
,又∵,
.