Question

【题目】设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1 ， 直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，

可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，

由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，

由AC=AD，可得∠D=∠C，

即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，

则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，

故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，

且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ，

则点E的轨迹方程为 =1（y≠0）；

（2）

解：

椭圆C1： =1，设直线l：x=my+1，

由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），

由 可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

可得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

则|MN|= |y1﹣y2|= = =12 ，

A到PQ的距离为d= = ，

|PQ|=2 =2 = ，

则四边形MPNQ面积为S= |PQ||MN|= 12 =24 =24 ，

当m=0时，S取得最小值12，又 ＞0，可得S＜24 =8 ，

即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8 ）

【解析】直线与椭圆的位置关系；圆的一般方程.（1）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（2）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围.本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的一般方程的相关知识，掌握圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．