Question

3．已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，a∈R．
（Ⅰ） 当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ） 若关于x的方程f（x）=2ax²-2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x²-3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；
（Ⅱ）分离参数，构造函数$r（x）=\frac{lnx+x}{x^2}$，问题转化为使$y=\frac{lnx+x}{x^2}$与y=a恰有两个不同的交点，通过讨论a的范围即可求出．

解答 解（Ⅰ）：当a=1时，函数f（x）=x²-3x+lnx，
则$f'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$．
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}$，x₂=1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	$（0{，_{\;}}\frac{1}{2}）$	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}{，_{\;}}1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）在$（0{，_{\;}}\frac{1}{2}）$和（1，+∞）上单调递增，在$（\frac{1}{2}{，_{\;}}1）$上单调递减．
当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）_极大值=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，
当x=1时，f（x）_极小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）依题意ax²-（2a+1）x+lnx=2ax²-2（a+1）x，
即ax²-x-lnx=0．则$a=\frac{lnx+x}{x^2}$．
令$r（x）=\frac{lnx+x}{x^2}$，则$r'（x）=\frac{{（\frac{1}{x}+1）{x^2}-2x（lnx+x）}}{x^4}=\frac{1-x-2lnx}{x^3}$．
当0＜x＜1时，r'（x）＞0，故r（x）单调递增（如图），

且$r（\frac{1}{e}）=\frac{{-1+\frac{1}{e}}}{{\frac{1}{e^2}}}=-{e^2}+e＜0$；
当x＞1时，r'（x）＜0，故r（x）单调递减，且$\frac{lnx+x}{x^2}＞0$．
∴函数r（x）在x=1处取得最大值r（x）_max=r（1）=1．
故要使$y=\frac{lnx+x}{x^2}$与y=a恰有两个不同的交点，只需0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．