Question

3．（1）若函数f（x）=1g（ax²+ax+2）的定义域为实数集R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=1g（ax²+ax+2）的值域为实数集R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的定义域为R便知不等式ax²+ax+2＞0的解集为实数集R，可看出需讨论a是否为0：a=0时，显然不等式成立，a≠0时，a需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-8a＜0}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出实数a的取值范围；
（2）由f（x）的值域为R便知ax²+ax+2∈（0，+∞），从而便有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，这样即可解出实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，则：
不等式ax²+ax+2＞0的解集为R；
①若a=0，2＞0恒成立；
②若a≠0，则：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-8a＜0}\end{array}\right.$；
解得0＜a＜8；
∴实数a的取值范围为[0，8）；
（2）f（x）的值域为实数集R，则：ax²+ax+2∈（0，+∞）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-8a≥0}\end{array}\right.$；
解得a≥8；
∴实数a的取值范围为[8，+∞）．

点评 考查函数定义域、值域的概念及其求法，对于不等式ax²+ax+2＞0的解集为R时，不要漏了a=0的情况，而对于函数y=ax²+ax+2的值域为（0，+∞）时，知道a所满足的条件．