Question

13．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0且a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并证明；
（3）当a=3时，不等式f（x）＜3^x-t对任意x∈[2，3]恒成立，求t的取值范围；
（4）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0，结合对数的运算性质，可得m=-1；
（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增．运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证；
（3）由题意可得t＜3^x-log₃$\frac{x+1}{x-1}$对任意x∈[2，3]恒成立，运用单调性可得最小值，即可得到t的范围；
（4）由题设可得函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），讨论当n＜a-2≤-1时，当1≤n＜a-2时，运用单调性可得方程，即可解得a，n的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0，即为log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$+log_a$\frac{1-mx}{x-1}$=0，
$\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，可得m=±1，
检验可得m=-1成立；
（2）f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
当a＞1时，设1＜m＜n，
f（m）-f（n）=log_a$\frac{m+1}{m-1}$-log_a$\frac{n+1}{n-1}$=log_a$\frac{（m+1）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$，
由$\frac{（m+1）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$-1=$\frac{2（n-m）}{（m-1）（n+1）}$＞0，
则$\frac{（m+1）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$＞1，当a＞1时，f（m）-f（n）＞0，
当0＜a＜1时，f（m）-f（n）＜0，
则当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（3）当a=3时，不等式f（x）＜3^x-t对任意x∈[2，3]恒成立，
即为t＜3^x-log₃$\frac{x+1}{x-1}$对任意x∈[2，3]恒成立，
设g（x）=3^x-log₃$\frac{x+1}{x-1}$，由（1）和（2）可得g（x）在[2，3]递增，
则g（x）_min=g（2）=8，
则t＜8；
（4）由题设可得函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
当n＜a-2≤-1时，即有0＜a＜1，由（1）和（2）可得f（x）在（n，a-2）递增，
即有$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{n+1}{n-1}=1}\\{a-2=-1}\end{array}\right.$解得a=1不成立；
当1≤n＜a-2时，a＞3，由（1）和（2）可得f（x）在（n，a-2）递减，
即有$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{a-1}{a-3}=1}\\{n=1}\end{array}\right.$解得n=1，a=2+$\sqrt{3}$．
综上可得n=1，a=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断及运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，属于中档题．