题目内容
【题目】设是数列
的前
项和,对任意
都有
成立(其中
是常数).
(1)当时,求
:
(2)当时,
①若,求数列
的通项公式:
②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“
数列”,如果
,试问:是否存在数列
为“
数列”,使得对任意
,都有
,且
,若存在,求数列
的首项
的所有取值构成的集合;若不存在.说明理由.
【答案】(1)(2)①
②存在,首项
所有取值构成的集合为
。
【解析】
(1)当时,得到
,进而得到
,两式作差,得到数列
为等比数列,即可求解.
(2)①时,
,进而得到
,两式作差,得到数列
为等差数列,即可求解.
②确定数列的通项,利用
是“
数列”,得到
是偶数,从而可得
,再利用条件,验证,即可求解数列
的首项的所有取值.
(1)由题意,当时,得到
,
用代替
,可得
,
两式相减,可得,即
,即
,
令,可得
,解答
,
所以数列是以1为首项,公比为3的等比数列,
所以.
(2)①当时,
,
用代替
,可得
,
两式相减可得,
用代替
,可得
,
两式相减,可得,即
,
即,所以数列
为等差数列,
因为,可得
,
又由,解得
所以数列的通项公式为
.
②由①知数列是等差数列,因为
,所以
,
又由是“封闭数列”,可得:
对任意,必存在
,使得
,
解得,所以
为偶数,
又由已知,可得
,所以
,
(i)当时,
,
对于任意,都有
,
(ii)当时,
,则
,
则,
取,则
,不合题意;
当时,
,则
,
则,符合题意;
当时,
,则
,
所以,
又由,
所以或
或
或
,
所以首项所有取值构成的集合为
.
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