Question

11．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD'的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（　　）
①四边形BFD′E一定是平行四边形    
②四边形BFD′E有可能是正方形
③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形
④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D．

• A． ①②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①根据一个面与两个平行的面的交线一定平行的性质证明出四边形BFD′E一定是平行四边形．
②先看F与C′重合，E与A点重合时不可能是正方形，在看不重合时BF和BE不可能垂直，进而推断结论不正确．
③四边形BFD′E在底面ABCD的投影是正方体的底面，进而可知，射影一定是正方形．
④找到E，F分别为中点时，利用证明EF⊥面BDD′B′，进而证明出两个面垂直．

解答 解：
①∵四边形BFD′E与面BCC′B′的交线为BF，与面ADD′A′的交线为D′E，且面BCC′B′∥面ADD′A′的交线为D′E，
∴BF∥D′E，
同理可证明出BE∥D′F，
∴四边形BFD′E一定是平行四边形，
故结论①正确．
②当F与C′重合，E与A点重合时，BF显然与EB不相等，不能是正方形，
当这不重合时，BF和BE不可能垂直，
综合可知，四边形BFD′E不可能是正方形
结论②错误．
③∵四边形BFD′E在底面ABCD的投影是四边形A′B′C′D′，
故一定是正方形，③结论正确．
④当E，F分别是AA′，CC′的中点时，
EF∥AC，AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
BB′⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∴BB′⊥EF，
∵BB′?面BDD′B′，BD?面BDD′B′，BD∩BB′=B，
∴EF⊥面BDD′B′，
∵EF?四边形BFD′E，平面BB′D?面BDD′B′，
∴面形BFD′E⊥面BDD′B′．
故结论④正确．
故选：B．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．有些地方，需要找一些特殊点来解决，比如第④结论找到中点的情况．