Question

【题目】设函数f（x）= ，h（x）=2f（x）﹣ax﹣b．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，且h（x）在[﹣1，1]有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f（x）为奇函数，则对于x∈R有f（﹣x）=﹣f（x）得 ， 化为2x+1+a2﹣x+1=﹣2﹣x+1﹣a2x+1 ， 所以a=﹣1
若f（x）为偶函数，则对于x∈R有f（﹣x）=f（x）得 ，
化为2x+1+a2﹣x+1=2﹣x+1+a2x+1 ， 所以a=1
综上知，当a=﹣1时，f（x）为奇函数；
当a=1时，f（x）为偶函数；
当a≠±1时，f（x）非奇非偶．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知若f（x）为奇函数，则a=﹣1．
此时 在[﹣1，1]有零点，
即有x∈[﹣1，1]满足方程 ．
由于函数 在[﹣1，1]单调递增，
在x∈[﹣1，1]时其值域为 ，
所以 ，
即实数b的取值范围为
【解析】（Ⅰ）由已知中函数f（x）= ，根据f（x）为奇函数，则对于x∈R有f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为偶函数，则对于x∈R有f（﹣x）=f（x），可得结论；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，即a=﹣1，若h（x）在[﹣1，1]有零点，即有x∈[﹣1，1]满足方程 ，构造函数求出值域，可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．