题目内容
【题目】在直角坐标系中, 已知定圆
,动圆
过点
且与圆
相切,记动圆圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线
上两点,点
关于
轴的对称点为
(异于点
),若直线
分别交
轴于点
,证明:
为定值.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)由两圆关系得等量关系,再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程,(2)解析几何中定值问题,往往通过计算给予证明,先设坐标,列直线方程,求出与
轴交点坐标,再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元,化简计算
为定值 .
试题解析:
解:(1)因为点在
内,所以圆
内切于圆
,则
,由椭圆定义知,圆心
的轨迹为椭圆,且
,则
,所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
(2)设,则
,由题意知
.则
,直线
方程为
,令
,得
,同理
,于是
,
又和
在椭圆
上,故
,则
.
所以.

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