题目内容
【题目】如图，四面体
中，
是边长为2的正三角形，
是直角三角形，
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若过
的平面交
的中点
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）根据题意得
≌
，进而得
，取
的中点
，连接
，
.易得
和
，从而得
平面
，即可得到平面
平面
.
（2）根据（1）可建立空间直接坐标系，用空间向量求二面角的余弦值即可.
解：（1）由题设易知：≌，从而
又
是直角三角形，所以
且
取的中点，连接，，则
且
，
又由于
是正三角形，故且
又
.
又因为
，
平面，
平面，又
平面
所以平面平面；.
（2）由题设及（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
故
设
是平面DAE的法向量，则
即
，
可取
.
设
是平面AEC的法向量，则
即
，可取
.
则
，
因为二面角
的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
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【题目】随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在
之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
分组 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
手机价格X（元） |
|
|
|
|
|
频数 | 10 | x | y | 20 | 20 |
（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；
（2）若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布
，其中
为样本平均数
，
为样本方差
，求
．
附：
．若
，则
，
．
