题目内容
14.已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且a:b:c=7:5:3.(1)求cosA的值;
(2)若△ABC的面积为45$\sqrt{3}$,求△ABC三条边长a,b,c的大小.
分析 (1)由a:b:c=7:5:3可设a=7k,b=5k,c=3k(k>0),由余弦定理得求出cosA的值;
(2)由(1)和平方关系求出sinA的值,由条件和三角形的面积公式求出三条边长a,b,c的大小.
解答 解:(1)因为a:b:c=7:5:3,
所以可设a=7k,b=5k,c=3k(k>0),…(2分)
由余弦定理得,$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$=$\frac{{{{({5k})}^2}+{{({3k})}^2}-{{({7k})}^2}}}{2×5k×3k}$=$-\frac{1}{2}$; …(4分)
(2)由(1)知,$cosA=-\frac{1}{2}$,
因为A是△ABC的内角,所以$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,…(6分)
由(1)知b=5k,c=3k,因为△ABC的面积为$45\sqrt{3}$,
所以$\frac{1}{2}bcsinA=45\sqrt{3}$,…(8分)
即$\frac{1}{2}×5k×3k×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=45\sqrt{3}$,解得$k=2\sqrt{3}$,…(10分)
解得,a=7k=$14\sqrt{3}$,b=5k=$10\sqrt{3}$,c=3k=$6\sqrt{3}$…(12分)
点评 本题考查余弦定理,平方关系的应用,以及三角形的面积公式,考查化简、计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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