题目内容
【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
. 点
为圆
上任意一点,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)记线段与椭圆
交点为
,求
的取值范围;
(Ⅲ)设直线经过点
且与椭圆
相切,
与圆
相交于另一点
,点
关于原点
的对称点为
,试判断直线
与椭圆
的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)由焦点及离心率求解方程组即可;
(Ⅱ)由,设
,利用
进行求解即可;
(Ⅲ)先讨论PA直线斜率不存在和为0时的特殊情况,得相切的结论,再计算一般情况,设点,直线
的斜率为
,则
,直线
:
,进而得直线
与椭圆联立,通过计算判别式即可证得.
试题解析:
(Ⅰ)由题意,知,
,
所以,
,
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)由题意,得.
设,则
.
所以,
因为,
所以当时,
;当
时,
.
所以.
(Ⅲ)结论:直线与椭圆
相切.
证明:由题意,点在圆
上,且线段
为圆
的直径,
所以.
当直线轴时,易得直线
的方程为
,
由题意,得直线的方程为
,
显然直线与椭圆
相切.
同理当直线轴时,直线
也与椭圆
相切.
当直线与
轴既不平行也不垂直时,
设点,直线
的斜率为
,则
,直线
的斜率
,
所以直线:
,直线
:
,
由 消去
,
得.
因为直线与椭圆
相切,
所以,
整理,得. (1)
同理,由直线与椭圆
的方程联立,
得. (2)
因为点为圆
上任意一点,
所以,即
.
代入(1)式,得,
代入(2)式,得
.
所以此时直线与椭圆
相切.
综上,直线与椭圆
相切.
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