题目内容
【题目】如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50
处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（
，其中锐角
的正切值为
）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.
（1）试建立由A经P到C所用时间与
的函数解析式；
（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．
【答案】（1）
，定义域为
（2）17.68
【解析】
试题分析：（1）由轮船航行的方位角为
，可得
，
，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得
，
，所以
，则由
经
到
所用时间与的函数关系为
，可得函数
的定义域为，其中锐角
的正切值为
；（2）利用导数研究函数的单调性，可得在
上递减，在
上递增，（
），所以可得
时函数取得最小值，此时
≈17.68.
试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以，，则
，
．． 由A到P所用的时间为
，由P到C所用的时间为
，所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为
．函数的定义域为，其中锐角的正切值为.
（2）由（1），
，
，
，令
，解得
，设θ0
，使
|
| θ0 |
|
|
| 0 |
|
| 减函数 | 极小值 | 增函数 |
所以，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=
≈17.68
，
答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少．
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【题目】近年来，网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众，某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计，商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对商品状况好评 | 100 | 20 | 120 |
对商品状况不满意 | 50 | 30 | 80 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系？
（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后，都可获得一张优惠券，且购物一次获得1元优惠券，2元优惠券的概率分别是
，
，各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次，记该用户当天获得的优惠券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据
P（K2≥k） | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：K2
，其中n＝a+b+c+d
