题目内容

【题目】某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域,其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香,在正方形的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪,要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积.设米.

1)求之间的函数关系式;

2)求的最大值.

【答案】(1),其中(2)

【解析】

1)利用已知条件将黄色郁金香和绿色草坪的面积表示出来,然后根据面积相等,得到之间的函数关系式,注意定义域;

2)根据,用换元法并构造新函数完成最大值的求解.

解:(1)在中,,则

同理,在中,,则

所以

因为在矩形内种植与黄花面积相等的草坪,

设矩形的面积为,则

所以

所以,其中

2)令,则

因为,所以

所以,因为上单调递增,

所以

答:的最大值为米.

练习册系列答案
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【题目】已知函数,且).

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)求函数上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅱ)当时, ;当时, .

【解析】试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得上单调递减,在上单调递增,由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.

试题解析】

(Ⅰ)

,则.

,∴上单调递增,

从而得上单调递增,又∵

∴当时, ,当时,

因此, 的单调增区间为,单调减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上单调递减,在上单调递增,

由此可知.

.

.

∵当时, ,∴上单调递增.

又∵,∴当时, ;当时, .

①当时, ,即,这时,

②当时, ,即,这时, .

综上, 上的最大值为:当时,

时, .

[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.

型】解答
束】
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