题目内容
【题目】已知集合,对于
的一个子集
,若存在不大于
的正整数
,使得对
中的任意一对元素
、
,都有
,则称
具有性质
.
(1)当时,试判断集合
和
是否具有性质
?并说明理由;
(2)当时,若集合
具有性质
.
①那么集合是否一定具有性质
?并说明理由;
②求集合中元素个数的最大值.
【答案】(1)不具有性质
,
具有性质
,理由见解析;(2)①
具有性质
,理由见解析;②
.
【解析】
(1)当时,集合
,
,根据性质
的定义可知其不具有性质
;
,令
,利用性质
的定义即可验证;
(2)当,则
.
①根据,任取
,其中
,可得
,利用性质
的定义加以验证即可说明集合
具有性质
;
②设集合有
个元素,由①可知,任给
,
,则
与
中必有
个不超过
,从而得到集合
与
中必有一个集合中至少存在一半元素不超过
,然后利用性质
的定义进行分析即可求得
,即
,解此不等式得
.
(1)当时,集合
,
不具有性质
.
因为对任意不大于的正整数
,
都可以找到该集合中的两个元素与
,使得
成立.
集合具有性质
.
因为可取,对于该集合中任一元素
,
,
、
.
都有;
(2)当时,则
.
①若集合具有性质
,那么集合
一定具有性质
.
首先因为,任取
,其中
.
因为,所以
.
从而,即
,所以
.
由具有性质
,可知存在不大于
的正整数
,
使得对中的任意一对元素
、
,都有
.
对于上述正整数,从集合
中任取一对元素
,
,其中
、
,则有
.
所以,集合具有性质
;
②设集合有
个元素,由①可知,若集合
具有性质
,那么集合
一定具有性质
.
任给,
,则
与
中必有一个不超过
.
所以集合与
中必有一个集合中至少存在一半元素不超过
.
不妨设中有
个元素
、
、
、
不超过
.
由集合具有性质
,可知存在正整数
.
使得对中任意两个元素
、
,都有
.
所以一定有、
、
、
.
又,故
、
、
、
.
即集合中至少有
个元素不在子集
中,
因此,所以
,得
.
当时,取
,则易知对集合
中的任意两个元素
、
,都有
,即集合
具有性质
.
而此时集合中有
个元素,因此,集合
元素个数的最大值为
.
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