题目内容
定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(
);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.
求证:
.
);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0. 求证:
.证明略
对f(x)+f(y)=f(
)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),
∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.
设－1＜x1＜x2＜0,则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(
),
∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0
∴＜0,
于是由②知f()?>0,
从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.
根据奇函数的图像关于原点对称，知
f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.
)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),
∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.
设－1＜x1＜x2＜0,则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(
),∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0
∴＜0,于是由②知f(
)?>0,从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.
根据奇函数的图像关于原点对称，知
f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.
练习册系列答案
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为奇函数，则当
时，
的最大值是 。
对
有意义，
，且
成立的充要条件是
．
与
的值；
时，求
的取值范围．
单调递增，如果
的值
，
，当x＞0时，
，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
则不等式
的解集为 
表示
，
两者中的较小者，若函数
，则满足
的
的集合为 
