Question

定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x²）＞1，求x的取值范围.

Answer 1

略

抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。
（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f ²（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，
∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0.
∴f（x₂）=f（x₂－x₁+x₁）=f（x₂－x₁）·f（x₁）.
∵x₂－x₁＞0，∴f（x₂－x₁）＞1.
又f（x₁）＞0，∴f（x₂－x₁）·f（x₁）＞f（x₁）.
∴f（x₂）＞f（x₁）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）·f（2x－x²）＞1，f（0）=1得f（3x－x²）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x²＞0.∴0＜x＜3.