Question

【题目】如图，菱形中，，与相交于点，，.

（I）求证：平面；

（II）当直线与平面所成角的大小为时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（I）菱形中，，则和都是正三角形，取中点，连接，，因为为的中点，所以在中，，………………2分

因为，所以，……………………3分

又因为，所以平面，………………4分

又平面，所以．同理，

又因为，所以平面． ………………6分

（II）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.

则，.设，则，………………7分

，

设平面的法向量为，则

即，令，得，

，

直线与平面所成角的大小为，

，

解得或（舍），.………………10分

故平面的一个法向量为，又，，所以平面的一个法向量为，则，

故二面角的余弦值为．………………12分